Dekartov projekat Univerzalne matematike

DEKARTOV PROJEKAT UNIVERZALNE MATEMATIKE

Pažljivijem čitaocu Dekartovih spisa ne može a da ne promakne činjenica da se stavovi koje on zastupa u ranijoj fazi pisanja, u koju bismo uvrstili dela zaključno sa Reč o metodi i Geometrija (oko 1637. god.)[1], na određen način razlikuju od onih koje zastupa u kasnijoj fazi: na prvom mestu, gubi se ta jasnoća, jednostavnost, matematička preciznost, pa i lucidnost kojom Dekart izlaže svoja filozofska stanovišta, a uvećava udeo opskurne i nepotrebno složene terminologije, prema kojoj upravo rani Dekart otvoreno izražava gnušanje[2]. Razloge ovome, po mom mišljenju, ne treba tražiti samo u društveno-političkim okolnostima – dakle, pritiscima kojim je on bio izložen od strane crkve i crkvenih vlasti i zbog kojih je, poučen iskustvima Galileja i Đordana Bruna, bio prinuđen da svoje stavove ublaži - već i u nespremnosti tadašnjeg javnog mnenja da prihvati pogled na svet iznenađujuće slobodouman, sistematičan i nadasve antički. Iako se ne može tvrditi da su kasnije Dekartove koncepcije i zamisli u kontradikciji s onim polaznim, moj je utisak da te kasnije zamisli, na sebi svojstven način, “zamagljuju“ većinu od stavova formulisanih u ranim spisima (kao što su Pravila, Svet, ili Čovek)[3]. Dekart biva uhvaćen u “lukavstvu“ na kojem je i sam zamerao starim piscima i filozofima, onim piscima koji su se, kaže on,

možda bojali da ova istinska matematika, sa svoje izvanredne lakoće i prostote, ne izgubi svoju vrednost vulgarizovanjem, pa su više voleli, da bi nas zadivili, da nam umesto nje pokazuju izvesne besplodne istine sa vrlo tananim dokazima kao rezultat svoje veštine, a ne da nas nauče svojoj veštini, pa da iščezne naše divljenje.[4]

U ovom radu predstaviću, u osnovnim crtama, Dekartov projekat univerzalne matematike (lat. mathesis unversalis). Kao što je poznato, reč “matematika“ dolazi od grčke reči mathema koja, između ostalog, znači proučavanje, istraživanje, saznanje. To je, dakle, put koji vodi sistematičnom, obrazloženom i čvrsto zasnovanom znanju, to je metod, pa u skladu s tim pojam univerzalne matematike ne treba shvatiti samo kao poznavanje izvesnih opštih, univerzalnih principa, već i kao poznavanje univerzalnog metoda uz pomoć kojeg stičemo različita znanja: bilo konkretna, bilo apstraktna. Čest je slučaj da se, greškom, zamisao univerzalne matematike pripisuje Lajbnicu i dovodi u vezu s utemeljenjem algebre (tj. veštačkih jezika)[5], dok ona, u stvari, nije ništa drugo do pokušaj oživljenja, rehabilitacije ideja kojim najranije tragove pronalazimo u grčkih filozofa, kao što su Tales, Pitagora, Heraklit, a zatim i Platon, Aristotel (primera radi, u Ε knjizi Metafizike zadatak prve filozofije, theologike, razjašnjava se upravo putem analogije s univerzalnom matematikom[6]). Neke od navedenih ličnosti mogli bismo, bez ustezanja, proglasiti očevima matematike. Imajući sve ovo u vidu, Dekartov najraniji filozofski spis Pravila označio bih kao jedan od najambicioznijih pokušaja da se rasvetle ideje antičkih mislilaca: reč je o, na prvom mestu, epistemološkoj raspravi, koju bi najbolje bilo čitati u funkciji komentara na ključne stavove Platonovih i Aristotelovih spisa, koncentrisane u središnjim delovima dijaloga Država, u prvom delu dijaloga Timaj, ili, pak, razložene duž redova Metafizike i Fizike.

Šta bi, onda, bio predmet univerzalne matematike? Da li je ona samo još jedan mit, ili ima realnih osnova? Dekart piše:

...Pošto su me ove misli dovele sa polja posebnih proučavanja aritmetike i geometrije istraživanju izvesne opšte matematike, pitao sam se pre svega šta se upravo pod tim nazivom obično podrazumeva, i zašto se ne samo već pomenute nauke, već i astronomija, muzika, optika, mehanika i mnoge druge nauke nazivaju delovima matematike. ... Razmatrajući stvar pažljivije, može se ipak uočiti da sve ono i samo ono, u čemu se red i mera ispituju, odnosi se na matematiku, bez obzira na to da li se takva mera traži u brojevima, figurama, zvezdama, zvucima ili ma kojim drugim predmetima; a iz toga sledi da treba da postoji izvesna opšta nauka, koja će objašnjavati sve što se može istraživati o redu i meri bez obzira na specifičnost sadržaja...[7]

Kasnije, u spisu Reč o metodi, ovaj stav je pojačan sledećim rečima:

...Ali nisam zbog toga nameravao da se trudim i učim sve posebne nauke koje se zovu zajedničkim nazivom matematike; i pošto sam uvideo da se sve ove nauke, mada su im predmeti različiti, slažu u tome što razmatraju samo razne odnose ili proporcije koje su date među stvarima, mislio sam da bi više vredelo ispitati samo te proporcije uopšte, i pretpostavljati ih u predmetima samo radi toga da bi ovi poslužili da ih lakše saznam, a nikako ih njima ne nametati, jer na taj bih način kasnije mogao bolje ih primenjivati na sve druge predmete kojima bi odgovarale.[8]

Iako Dekart ne citira, već tek pominje neke od autora preko kojih se upoznao s navedenim stavovima[9], mi u njima lako raspoznajemo način mišljenja svojstven Platonovom dijalogu Timaj, u kojem se – po nekim pretpostavkama[10] – izlaže izvorno učenje pitagorejaca. Da bih pojasnio zašto takav način mišljenja stoji u osnovi ne samo matematičkih, već i svih naučnih disciplina, kao i u čemu se sastoji razlika između modernih, savremenih shvatanja matematike s jedne strane, i antičkog shvatanja s druge strane, poslužiću se jednim primerom koji je, ako je verovati postojećim izvorima, u duhu onih istraživanja koja su Pitagoru i sledbenike dovela do značajnih naučnih otkrića[11]. Evo o čemu je reč: eksperimentalnim putem može se utvrditi da tonski odnosi, kao na primer oktava, kvinta, ili kvarta, mogu biti predstavljeni odnosima veličina (redom 2:1, 3:2, 4:3)[12]. Muzičar bi, prema tome, trebalo da proučava tonske odnose same po sebi, nezavisno od sadržaja, materijala tj. muzičkih instrumenata koji ih proizvode - a to mogu biti zategnute žice, posude napunjene vodom, ili, kao što je sve češći slučaj u savremeno doba, računari, i drugi elektronski instrumenti. Poznavanje pomenutih odnosa omogućilo bi muzičkom stvaraocu ne samo da pronikne u prirodu svoje veštine, da spozna ono opšte koje se javlja u pojedinačnom, već i da bez ikakve pomoći čula sluha, služeći se isključivo teorijskim, matematičkim znanjem, određeni materijal oblikuje na takav način da proizvodi harmoniju, tj. skladno zvučanje. Ovo je, shvaćeno u širem smislu, nalik tezi koju Platon formuliše u dijalogu Država, prema kojoj bi svako ko dospe do nehipotetičkog, univerzalnog znanja bio u stanju da opaža bez pomoći čula[13]. Međutim, dok Dekart tvrdi samo to da su predmet univerzalne matematike izvesni odnosi i proporcije, bez obzira na sadržaj, Platonov Timaj - čiji govor moramo uzeti s krajnjom obazrivošću – ni manje ni više nego pomoću tonskih odnosa i tonske lestvice, struktuira tzv. “dušu sveta“ (u kojoj, naravno, učestvuju sve pojedinačne duše)[14], pritom ne obrazlažući svoje postupke na dovoljno jasan i prihvatljiv način.

Dekartu se, stoga,

...učinilo, da je matematika, koju su oni (antički matematičari, prim. A.K.) znali, morala biti potpuno različita od one koja se obično zna u naše vreme...[15]

Verujem da je, nakon ovog što smo rekli, barem malo jasnije u čemu se ta razlika sastoji, i zašto ovakvo zapažanje i mi možemo deliti. Formalistički koncipirana matematika (pod uslovom da se kao takva uopšte može nazvati imenom “matematike“) dopušta nam da proizvoljno odabiramo prve principe, aksiome, kao i pravila zaključivanja; da simbole, i od njih konstruisane rečenice, formule i teoreme ispitujemo ne uzimajući u obzir njihovo značenje, na taj način postižući unutrašnji sklad sistema (koji može, ali ne mora stajati ni u kakvom odnosu prema stvarnosti)[16]. U tom smislu, formalna matematika neuporedivo je sličnija umetnosti, poeziji, negoli nauci... Premda u Dekartovo vreme nije bilo ničeg ni nalik hilbertovskom formalizmu, činjenica je da je nezaustavljivi razvoj algebre, koja ispitivane odnose i proporcije predstavlja simbolički, dao podstreka razvoju formalne matematike. Anticipirajući ovo, Dekart za algebru kaže da bi trebalo

...da se oslobodi brojnih šifri i neobjašnjivih figura, tako da u njoj ne odsustvuju najviša jasnost i lakoća za koje pretpostavljamo da moraju biti u istinske matematike.[17]

S druge strane, univerzalna matematika, iako istražuje odnose i proporcije nezavisno od sadržaja, tj. od stvari, ne zaboravlja da predmet njenog bavljenja jeste apstrahovan od stvari, da bi, opet, bio primenjen na stvari. Njen cilj nije da rešava imaginarne probleme, već da eksplicira, a ujedno i saznaje predmete iskustva. Jer, smatra Dekart, zaključivati se može samo

...ili idući od reči ka stvarima, ili od efekta uzroku, ili od uzroka efektu...[18]

(a nikako idući od “reči ka rečima“, na šta se rado odlučuju formalisti)! Poznata je i Dekartova kritika aristotelovske teorije silogizma[19] koju, ovom prilikom, neću komentarisati.

Preostalo je još samo da kažemo nekoliko reči o tome na koji način, po Dekartovom shvatanju, dolazimo do novih saznanja. Prva karika u svakom lancu zaključivanja, u svakoj dedukciji, jeste određeni prosti stav, aksioma, čiji je pojam - za Dekarta - sinoniman pojmu uzroka, opšteg, jednog i, pre svega, apsolutnog[20]. Taj se prosti stav spoznaje, isključivo, neposrednim sagledavanjem tj. intuicijom[21] (sve ovo ostaje dosledno kako Platonovom učenju, prema kojem pravo znanje mora počivati na tzv. “nehipotetičkom početku“[22], tako i izvornom značenju reči “aksioma“ - čiji bi sinonim bila reč “samoočigledno“[23]). Dedukcija će, zatim, biti određena kao niz intuicija izvršenih u vremenu, a uz pomoć pamćenja[24]. Neobično je da Dekart i indukciju odobrava kao pouzdan vid saznanja, pod uslovom da je nabrajanje dovoljno, premda ne mora biti potpuno i razgovetno[25]. U skladu s načinom na koji smo odredili predmet univerzalne matematike, odredićemo i karakter naših aksioma: to nikako ne mogu biti nizovi simbola, šifri, već isključivo veličine, relacije, ili sistemi relacija (apstrahovani iz iskustva, a ispitivani u razumu). Aksiome su, sudeći prema Dekartovim rečima, proste prirode[26], jedinične veličine koje nam služe kao zajednička mera za sve druge[27]. One su polazišta u objašnjenju. S obzirom da su najrazgovetniji oblik i slika[28], algebra, tj. simboličko prikazivanje, poslužiće nam samo kao pomoćno sredstvo da označimo one veličine koje ne zahtevaju neposrednu pažnju razuma, ili koje je teško predstaviti crtežom u toku zaključivanja[29].

Možda je Dekarta zadesila sudbina da bude jedan od najkrivlje shvaćenih mislilaca. Možda će se jednog dana sa besplodnih zamisli i istina, kao što je ona (nadaleko čuvena) cogito, ergo sum, ili sa, zbilja, grotesknih teorija uzročnosti (kakvu srećemo u odgovorima Gasendiju[30]), pažnja filozofske javnosti preusmeriti na njegove najvrednije ideje, formulisane, ponajviše, u spisu Pravila. Ekspanzija algebarske, formalne matematike dovela je svet u zabludu koja se najbolje može iskazati sledećim rečima Alberta Ajnštajna:

...ukoliko se zakoni matematike odnose na stvarnost, tad ne mogu biti izvesni; a ukoliko su izvesni, tad se ne odnose na stvarnost.[31]

BIBLIOGRAFIJA

Štampani izvori

[1] Annas, Julia: An Introduction to Plato's Republic;

New York, Oxford University Press, 1981.

[2] Annas, Julia: Aristotle’s Metaphysics, Books M and N;

New York, Oxford University Press, 1976.

[3] Aristotel: Metafizika; Beograd, Kultura, 1971.

[4] Barker, Stefan: Filozofija matematike; Beograd, Nolit, 1973.

[5] Curley, E. M: Descartes Against the Skeptics; Oxford, Basil Blackwell, 1978.

[6] Dekart, Rene: Meditacije o prvoj filozofiji; Beograd, Plato, 1998.

[7] Dekart, Rene: Praktična i jasna pravila rukovođenja duhom u istraživanju istine u

Dekart, Rene: Rasprava o metodi; Valjevo, PŽM, 1999.

[8] Dekart, Rene: Reč o metodi dobrog vođenja svoga uma i istraživanja istine u

naukama u Dekart, Rene: Rasprava o metodi, Valjevo, PŽM, 1999.

[9] Dekart, Rene: Strasti duše; Nova Pazova, Bonart, 2002.

[10] Descartes, René: Objections Against the Meditations, and Replies u The Great

Books of the Western World, Vol. 31; The University of Chicago, 1952.

[11] Guthrie, W.K.C: History of Greek Philosophy, Vol. 1-6;

Cambridge, Cambridge University Press, 1962-1981.

[12] Koplston, Frederik: Istorija filozofije, Tom IV; Beograd, BIGZ, 1995.

[13] Lawlor, Robert: Sacred Geometry; London, Thames & Hudson Ltd, 1982.

[14] Lemon, E. Dž: Upoznavanje sa logikom; Nikšić, JASEN, 2002.

[15] Pavlović, Branko: Tajne dijaloga Timaj u Platon: Timaj; Beograd, Mladost, 1981.

[16] Platon: Država; Beograd, BIGZ, 1993.

[17] Platon: Timaj; Beograd, Mladost, 1981.

[18] Russell, Walter: The Universal One, Vol. 1;

Swannanoa, University of Science and Philosophy, 1974.

[19] Vilijams, Bernard: Dekart, projekat čistog istraživanja u THEORIA br. 4, Beograd,

Filozofsko društvo Srbije, 1996.

Elektronski izvori

[1] Descartes, René: The Principles of Philosophy;

http://www.philosophy.leeds.ac.uk/GMR/hmp/texts/modern/descartes/principles/princindex.html

(21.05.2007.)

[2] Descartes, René: The World;

http://www.princeton.edu/~hos/mike/texts/descartes/world/world.htm

(21.05.2007.)

[3] Ilić, Aleksandar: Dekartovo shvatanje intuicije; u pripremi

[4] Einstein, Albert: Sidelights on Relativity;

http://www.gutenberg.org/dirs/etext05/slrtv10.txt

(21.05.2007.)

[5] Stanford Encyclopedia of Philosohy: Descartes’ Epistemology;

http://plato.stanford.edu/entries/descartes-epistemology/

(21.05.2007.)

[6] Wikipedia: Pythagorean Tuning;

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning

(21.05.2007.)

[7] Wikipedia: René Descartes;

http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes

(21.05.2007.)

[8] Wikipedia: Mathesis Universalis;

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathesis_universalis

(21.5.2007.)

[1] Koplston, F: Istorija filozofije, Tom IV, str. 71

[2] Dekart, R: Praktična i jasna pravila, str. 92-93

[3] Ovo je suprotno uobičajenom shvatanju da Dekart, u kasnijim spisima, razjašnjava polazne stavove.

[4] Ibid, str. 64 (kurziv A.K.)

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Mathesis_universalis

[6] Aristotel: Metafizika, 1026a

[7] Dekart, op. cit, str. 65 (kurziv A.K.)

[8] Dekart, R: Reč o metodi, str. 21 (kurziv A.K.)

[9] Dekart, R: Praktična i jasna pravila, str. 59 (Platon, Aristotel) i str. 64 (Papus, Diofant)

[10] Pavlović, B: Tajne dijaloga Timaj, str. 11-14

[11] Guthrie, W.K.C: History of Greek Philosophy, Vol. 1, str. 212-226

[12] http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning

[13] Platon: Država, 511b-c. Nisam naišao ni na jedno mesto na kojem Dekart zastupa tako radikalno stanovište. Po mom mišljenju, Platon navedenom tezom implicira da onaj koji zna meru (tj. uzrok) stvari ujedno zna i da ih, po toj meri, načini. Kao da je posmatrač ujedno i tvorac!

[14] Platon: Timaj, 35a-36e. Neusmnjivo, reč je o strukturi organizama, živih bića, pa i same stvarnosti. Zamisao da se pomoću opšteg može objasniti pojedinačno, ovde je u punoj meri prisutna.

[15] Dekart, R: Praktična i jasna pravila, str. 64

[16] Barker, S: Filozofija matematike, str. 166-170 i str. 176-180

[17] Dekart, op. cit, str. 65

[18] Ibid, str. 94

[19] Ibid, str. 81

[20] Ibid, str. 67

[21] Ibid, str. 61

[22] Platon: Država, 511b

[23] Da li se, na primer, Peanove aksiome mogu smatrati samoočiglednim?

[24] Dekart, op. cit, str. 61

[25] Ibid, str. 71-72

[26] Ibid, str. 67

[27] Ibid, str. 106

[28] Ibid, str. 85

[29] Ibid, str. 108

[30] Descartes, R: Objections Against the Meditations, and Replies, str. 210-214. Uporediti ref. 20.

[31] Obraćanje Pruskoj akademiji nauka u Berlinu, 27. januara 1921. Objavljeno na engleskom jeziku pod naslovom Geometry and Experience, u Sidelights on Relativity. (prevod A. K.)